Знаменитый режиссёр (при рождении — Рабинович) появился на свет 28 марта 1933 года в Москве. С юных лет он увлекался рисованием, посещал художественную студию и театральный кружок при Дворце пионеров.
После получения школьного образования молодой человек поступил в художественное училище, но не доучился. В 1955 году он завершил обучение на архитектурном факультете МИСИ имени Куйбышева (ныне — НИУ МГСУ), где среди его наставников был знаменитый конструктивист Константин Мельников.
В конце 1950-х он трудился карикатуристом в популярных изданиях «Огонёк», «Крокодил» и прочих. В этот же период он сменил фамилию на Митта, взяв её по материнской линии. Позже этот опыт помог ему в кинематографической деятельности.
В 1960 году Александр Митта окончил режиссёрский факультет ВГИКа (ныне — ВГИК имени Герасимова).
Его первой режиссёрской работой стала экранизация пьесы Хмелика «Друг мой, Колька!..» (1961, в соавторстве с Алексеем Салтыковым, «Мосфильм»). Картина получила несколько наград, включая международную. Настоящую славу режиссёру принёс фильм «Экипаж» (1979), ставший первой советской лентой в жанре катастроф. Эта работа вошла в число самых кассовых проектов советского кинопроката.
За свою карьеру Митта создал порядка 20 кинокартин, большинство из которых написал сам или участвовал в сценарии: «Сказ про то, как царь Петр арапа женил», «Гори, гори, моя звезда», сериал «Граница. Таёжный роман» и другие. Его последняя работа — «Шагал — Малевич» — вышла в 2014 году.
Помимо режиссуры, Митта снимался в кино. Наиболее запомнилась его роль интеллигента Владика в картине Хуциева «Июльский дождь» (1966). Также он написал несколько детских книг: «Витя в тигровой шкуре» (1960), «Прилетели марсиане…» (1960), «Чудо-кровать» (1961) и «Добрый ослик» (1961).
Режиссёр состоял в Союзе кинематографистов России, был членом президиума РАКИ, почётным академиком Российской академии художеств. В 2004 году ему присвоили звание народного артиста РФ. Также он получил знак «За вклад в российскую культуру» (2018) и ордена «За заслуги перед Отечеством» III и IV степеней (2024, 2008).
Более шести десятилетий он прожил в браке с художницей Лилией Майоровой, с которой познакомился во время работы в детском издательстве. У пары есть сын Евгений, ставший художником.
Александр Митта ушёл из жизни 14 июля 2025 года в Москве из-за осложнений после инсульта. Его госпитализировали в начале июля в критическом состоянии. Долгое время мастера кино беспокоили сердечные заболевания, онкология и неврологические расстройства. На момент смерти ему исполнилось 92 года.